Exercice 1 : Chimie (7 Points)
Chimie : Acide éthanoïque et électrolyse de la saumure (7 pts)
Les parties 1 et 2 sont indépendantes

Partie 1 : Étude d'une solution aqueuse d'acide éthanoïque et sa réaction avec l'ammoniac
L'acide éthanoïque $\text{CH}_3\text{COOH}$ est un acide organique incolore. On se propose de déterminer la constante d'acidité $K_A$ du couple $\text{CH}_3\text{COOH}/\text{CH}_3\text{COO}^-$, et de l'exploiter dans la réaction de l'acide éthanoïque avec l'ammoniac $\text{NH}_3$.
On prépare une solution aqueuse $S_1$ d'acide éthanoïque de concentration molaire $C_1 = 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$.

  1. 1- Écrire l'équation chimique modélisant la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau. 0.25 pt
  2. 2- Trouver l'expression de la constante d'acidité $K_A$ en fonction de $C_1$ et $\tau_1$ le taux d'avancement final de la réaction. 0.5 pt
  3. 3- On dilue un volume $V_1$ de la solution $S_1$ en lui ajoutant un volume $V_e$ d'eau distillée, on obtient ainsi une solution $S_2$ de concentration $C_2$. Soit $\tau$ le taux d'avancement final de la réaction dans la solution $S_2$.
    3-1- Dans le cas où $\tau \ll 1$, $\tau^2$ s'écrit sous la forme : $\tau^2 = \alpha \cdot V_e + \beta$. Déterminer l'expression de $\alpha$ et celle de $\beta$. 0.5 pt

    3-2- La courbe de la figure 1 représente les variations de $\tau^2$ en fonction du volume $V_e$ de l'eau ajouté dans le cas où $\tau \ll 1$.

    Figure 1 : Courbe tau^2 en fonction de Ve

    1. 3-2-1- En utilisant la courbe de la figure 1, trouver la valeur du $\text{pH}_1$ de la solution $S_1$. 0.5 pt
    2. 3-2-2- En utilisant la courbe de la figure 1, vérifier que $K_A \approx 1,59 \cdot 10^{-5}$ et déterminer la valeur de $V_1$. 0.75 pt
  4. 4- On prend un volume $V_2 = 15\text{ mL}$ de la solution $S_1$ et on lui ajoute un volume $V_e$ d'eau distillée, on obtient une solution $S_3$, de concentration $C_3$, de $\text{pH}_3 = 3,85$ et dont le coefficient de dilution est $n = \frac{C_1}{C_3}$.
    4-1- Montrer que : $n = \frac{K_A \cdot C_1 \cdot 10^{2\text{pH}_3}}{1 + K_A \cdot 10^{\text{pH}_3}}$. Calculer sa valeur. 0.5 pt
    4-2- Déduire la valeur de $C_3$ et celle de $V_e$. 0.5 pt
  5. 5- On mélange un volume $V$ de la solution $S_1$ avec le même volume $V$ d'une solution aqueuse $S$ d'ammoniac de concentration molaire $C = C_1$.
    Données : $\text{p}K_{A1}(\text{NH}_4^+/\text{NH}_3) = 9,2$ ; $\text{p}K_A(\text{CH}_3\text{COOH}/\text{CH}_3\text{COO}^-) = \text{p}K_A$.
    5-1- Écrire l'équation chimique modélisant la réaction de l'acide éthanoïque avec l'ammoniac. 0.25 pt
    5-2- Montrer que le $\text{pH}$ du mélange réactionnel à l'équilibre s'écrit : $\text{pH} = \frac{1}{2}(\text{p}K_A + \text{p}K_{A1})$. 0.5 pt
    5-3- Déterminer l'espèce chimique prédominante, dans la solution, pour chaque couple intervenant dans la réaction. 0.5 pt

Partie 2 : Synthèse du dihydrogène gazeux
On s'intéresse à l'électrolyse d'une saumure ($\text{Na}^+_{(\text{aq})} + \text{Cl}^-_{(\text{aq})}$) de $\text{pH}_0 = 7$ et de volume $V = 0,5\text{ L}$. La figure 2 représente le schéma simplifié du dispositif.

Figure 2 : Électrolyse de la saumure

Données : $1\text{F} = 9,65 \cdot 10^4\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1}$ ; $K_e = 10^{-14}$ ; Couples : $\text{Cl}_2/\text{Cl}^-$ et $\text{H}_2\text{O}/\text{H}_2$ ; $V_m = 24,8\text{ L}\cdot\text{mol}^{-1}$ ; $E_1$ et $E_2$ inattaquables ; Au cours de l'électrolyse le $\text{pH}$ augmente.

  1. 1- Identifier, en justifiant, l'anode parmi les électrodes $E_1$ et $E_2$. 0.5 pt
  2. 2- On obtient un dégagement gazeux au niveau de chaque électrode. Écrire l'équation de la réaction qui se produit au niveau de la cathode. 0.5 pt
  3. 3- Pour une intensité du courant $I = 1\text{ A}$ et une durée de fonctionnement $\Delta t = 10\text{ min}$ :
    3-1- Montrer que l'expression du volume du dihydrogène produit s'écrit : $V(\text{H}_2) = \frac{I \cdot V_m \cdot \Delta t}{2F}$. Calculer sa valeur. 0.75 pt
    3-2- Calculer le $\text{pH}$ de la solution obtenue. 0.5 pt
Corrigé Exercice 1
Exercice 2 : Les transformations nucléaires (1.75 Points)
Nucléaire : La radioactivité du potassium 40 (1.75 pts)
Le potassium existe sous forme de trois isotopes : $^{39}_{19}\text{K}$, $^{40}_{19}\text{K}$ et $^{41}_{19}\text{K}$. Seul $^{40}_{19}\text{K}$ est radioactif (89% en $^{40}_{20}\text{Ca}$ et 11% en $^{40}_{18}\text{Ar}$).
Le corps d'un homme de masse $70\text{ kg}$ contient environ $m = 16\text{ mg}$ de potassium 40.

Données : $M(^{40}\text{K}) = 40\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ ; $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}$ ; $t_{1/2}(^{40}\text{K}) = 1,25 \cdot 10^9\text{ an}$ ; $1\text{ an} = 365,25\text{ jours}$.

  1. 1- Écrire l'équation de la désintégration du noyau $^{40}_{19}\text{K}$ en noyau $^{40}_{20}\text{Ca}$. 0.25 pt
  2. 2- La figure 1 représente le diagramme énergétique de la désintégration avec :
    $^A_Z\text{X}$ la particule émise ; $E_1 = 331,614\text{ MeV}$ ; $E_2 = 332,441\text{ MeV}$ ; $E_3 = -0,782\text{ MeV}$.

    Figure 1 : Diagramme énergétique du potassium 40

    2-1- Comparer l'énergie de liaison par nucléon du noyau $^{40}_{19}\text{K}$ à celle du noyau $^{40}_{20}\text{Ca}$ et déduire le noyau le plus stable. 0.5 pt
    2-2- Déterminer la transformation à laquelle correspond l'énergie $E_3$. 0.25 pt
    2-3- Montrer que l'expression de $E$ l'énergie libérée par seconde dans le corps d'une personne de masse $70\text{ kg}$ par la désintégration du potassium 40 en calcium 40 s'écrit : $$E = \frac{0,89 \cdot \ln(2) \cdot m \cdot N_A \cdot (E_2 - E_1 - E_3)}{M(^{40}\text{K}) \cdot t_{1/2}}$$ Calculer sa valeur. 0.75 pt
Corrigé Exercice 2
Exercice 3 : Les ondes (1.75 Points)
Ondes : Utilisation des ultrasons pour vérifier la qualité d'une huile d'olive (1.75 pts)
La célérité des ultrasons dans une huile d'olive de bonne qualité se situe entre $1595\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ et $1600\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.
On effectue le protocole schématisé sur la figure 1. La sonde émet à $t=0$ un signal ultrasonore. Une partie est réfléchie par la surface libre de l'huile (signal reçu à $t_1$), et la deuxième partie est réfléchie par le fond du bécher (signal reçu à $t_2$) (Figure 2).

Figure 1 : Dispositif de mesure des ultrasons

Figure 2 : Signaux émis et reçus

Données : Profondeur de l'huile $h = 10\text{ cm}$ ; Distance sonde-surface $d = 20\text{ cm}$ ; $t_1 = 1168,79\ \mu\text{s}$ ; $t_2 = 1293,90\ \mu\text{s}$.

  1. 1- Choisir la proposition juste parmi les propositions suivantes : 0.5 pt
    a- L'onde ultrasonore se propage dans le vide avec la célérité $v = 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.
    b- L'onde ultrasonore est une onde électromagnétique.
    c- Le retard temporel entre l'émission de l'onde par E et sa réception après réflexion au fond de l'huile est $\tau = t_2 - t_1$.
    d- On peut réaliser le phénomène de diffraction avec des ondes ultrasonores.
  2. 2- Exprimer la célérité $v_a$ des ultrasons dans l'air en fonction de $t_1$ et $d$. Calculer sa valeur. 0.5 pt
  3. 3- Vérifier la qualité de l'huile d'olive étudiée. 0.75 pt
Corrigé Exercice 3
Exercice 4 : Électricité (4.25 Points)
Électricité : Circuits RL, oscillations libres RLC et régime forcé (4.25 pts)
Les parties 1 et 2 sont indépendantes

Partie 1 : Détermination des caractéristiques d'une bobine et d'un condensateur
On réalise le montage expérimental de la figure 1 avec $E = 6\text{ V}$, $R = 50\ \Omega$, une bobine $(L, r)$ et un condensateur de capacité $C$.

Figure 1 : Montage électrique RL/RC

1- Détermination des caractéristiques de la bobine :
On ferme $K_1$ et $K_3$ ($K_2$ ouvert). La figure 2 donne $\frac{du_R}{dt} = f(u_R)$.

Figure 2 : Courbe duR/dt = f(uR)

  1. 1-1- Montrer que l'équation différentielle s'écrit : $\frac{du_R}{dt} = -\frac{R+r}{L} u_R + \frac{R \cdot E}{L}$. 0.5 pt
  2. 1-2- En exploitant la figure 2, vérifier que $L = 60\text{ mH}$ et trouver la valeur de $r$. 0.5 pt

2- Les oscillations électriques libres dans le circuit RLC série :
On charge totalement le condensateur sous la tension $E$, puis à $t=0$, on ferme $K_3$. La figure 3 montre l'évolution de $u_C(t)$. $(T)$ est la tangente à $t_1 = 4,8\text{ ms}$.

Figure 3 : Oscillogramme uC(t)

  1. 2-1- Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$. 0.5 pt
  2. 2-2- En assimilant la pseudo-période à la période propre, calculer $C$. 0.25 pt
  3. 2-3- Montrer que l'énergie totale s'écrit : $E_T(t) = \frac{1}{2} C \left[ u_C^2 + L \cdot C \left(\frac{du_C}{dt}\right)^2 \right]$. 0.25 pt
  4. 2-4- Calculer $\Delta E_T$ entre $t=0$ et $t_1 = 4,8\text{ ms}$, puis expliquer ce résultat. 0.75 pt
  5. 2-5- On monte en série un générateur délivrant $u_g(t) = 60 \cdot i(t)$. Choisir la proposition juste : 0.5 pt
    a- le régime des oscillations obtenues est apériodique.
    b- l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur est constante au cours du temps.
    c- l'énergie totale emmagasinée dans le dipôle RLC est constante au cours du temps.
    d- l'énergie dissipée par effet Joule dans le circuit est nulle.

Partie 2 : Oscillateur RLC en régime sinusoïdal forcé
On réalise le montage de la figure 4 avec $C = 120\text{ nF}$, $L = 2,5\text{ mH}$, $r=0$, $U_m = 100\text{ V}$.
À la résonance ($N_0$), $I_0 \approx 1,41\text{ A}$. Pour $N_1 = 6,54\text{ kHz}$ et $N_2$, $I_{\text{eff}} \approx 1\text{ A}$.

Figure 4 : Montage RLC en régime forcé

  1. 1- Déterminer $N_0$. 0.25 pt
  2. 2- Vérifier que $N_1$ et $N_2$ délimitent la bande passante à -3dB. 0.25 pt
  3. 3- Déterminer $N_2$ sachant que le facteur de qualité est $Q = 1,44$. 0.25 pt
  4. 4- Calculer la valeur de $R$. 0.25 pt
Corrigé Exercice 4
Exercice 5 : La mécanique (5.25 Points)
Mécanique : Ballon de basket et système à deux solides (5.25 pts)
Les parties 1 et 2 sont indépendantes

Partie 1 : Mouvement d'un ballon de basket-ball
Pour marquer un panier, le centre $G$ du ballon doit passer par le centre $C$ de l'arceau ($h = 3,05\text{ m}$). Lancé de $A(0, H=2\text{ m})$ avec $\vec{v}_0$ faisant $\alpha = 45^\circ$ avec l'horizontale (Figure 1). On néglige l'action de l'air ($g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$, rayon $R = 12,4\text{ cm}$).

Figure 1 : Tir au basket-ball

  1. 1- Établir l'équation littérale de la trajectoire du centre $G$ du ballon. 0.5 pt
  2. 2- Les verticales passant par $A$ et $C$ sont distantes de $D = 6,75\text{ m}$. Trouver la valeur de $v_0$ pour que le panier soit réussi. 0.5 pt
  3. 3- Calculer la durée du trajet effectué par le centre $G$ du point $A$ au point $C$. 0.5 pt
  4. 4- Un adversaire situé à $d = 0,90\text{ m}$ saute verticalement en levant les bras ($H' = 2,70\text{ m}$). Vérifier si le panier est réussi. 0.5 pt

Partie 2 : Mouvement d'un système mécanique
Oscillateur horizontal constitué d'un solide $(S)$ ($m=100\text{ g}$) et d'un ressort ($K = 400\text{ N}\cdot\text{m}^{-1}$). Plan sans frottement entre $O$ et $C$ (Figure 2). On prend $g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$ et $\pi^2 = 10$.

Figure 2 : Oscillateur horizontal simple

1. Mouvement du solide $(S)$ seul :
Comprimé de $a = 5\text{ cm}$ et libéré sans vitesse initiale à $t=0$.
  1. 1-1- Établir l'équation différentielle vérifiée par $x(t)$. 0.25 pt
  2. 1-2- $x(t) = X_m \cos(2\pi N_0 t + \varphi)$. Déterminer $N_0$ et $\varphi$. 0.5 pt
  3. 1-3- Déterminer la vitesse $v_1$ au premier passage par l'équilibre. 0.25 pt

2. Mouvement du système $\{(S) + (S')\}$ :
On place contre $(S)$ un solide $(S')$ de masse $m' = 200\text{ g}$ (Figure 3). On libère le système sans vitesse initiale après compression de $a = 5\text{ cm}$.

Figure 3 : Système à deux solides S et S'

  1. 2-1- Le solide $(S')$ se sépare de $(S)$ lors de son premier passage par l'équilibre. Expliquer. 0.25 pt
  2. 2-2- Trouver l'expression de $v'_0$ à l'instant de séparation en fonction de $a, m', m$ et $K$. 0.25 pt
  3. 2-3- Entre $C$ et $D$, $(S')$ glisse avec frottements ($R_T = \mu R_N$, $\mu = 0,5$).
    1. 2-3-1- Déterminer l'intensité $R_T$. 0.5 pt
    2. 2-3-2- Établir l'équation horaire du mouvement de $G'$ dans le repère $(C, \vec{i})$ avec $v_C = v'_0$. 0.5 pt
    3. 2-3-3- Montrer que la compression $a'$ pour que $G'$ s'arrête en $D$ ($d=CD=45\text{ cm}$) s'écrit : $a' = \sqrt{\frac{2R_T \cdot d \cdot (m+m')}{K \cdot m'}}$. Calculer $a'$. 0.75 pt
Corrigé Exercice 5